Рулетка математиката · Туттуу · 8 мүнүүтэ

Келли критерийэ уонна рулетка

Q: Келли хаһан эмэ рулеткаҕа ставка туруор диир дуо?

Кэлтэгэй көлүөһэттэн эбэтэр кэми кэмниир тэрилтэн кэмнэммит баһыйыы баар буоллаҕына эрэ. Чиэһинэй көлүөһэҕэ суох.

Келли критерийэ казино өлүүтүттэн баһыйыылаах оонньооччуга төһө ставка туруорарын этэр. Рулеткаҕа кини чуолкай хоруйу биэрэр: туох да суох.

Кылгас хоруй

Келли ставката = баһыйыы / сыһыан. Баһыйыы минус буоллаҕына, формула минус өлүүнү биэрэр, ол аата ставка туруорума. Ол эрээри критерий кэлтэгэй көлүөһэни туһанааччылар ставкаларын тоҕо оннук кээмэйдээбиттэрин, уонна атыттар бары тоҕо бюджетынан кээмэйдиэхтээхтэрин өйдүүргэ туһалаах.

Келли өлүүтэ

f* = (bp − q) / b

кыһылга

(1 × 18/37 − 19/37) / 1 = −1/37

өйдөбүлэ

туох да туруорума

1/30 ячейкаҕа

≈ банкролл +0,6%-а

Критерий

Джон Келли (1956) биллэр баһыйыылаах оонньооччу банкроллхарчыБанкроллОонньуурга араарыллыбыт уопсай харчы. Банкроллы салайыы — онтон биир ставкаҕа уонна биир сессияҕа төһөнү кутталга угары быһаарыы.Толору ааҕыҥ → уһун кэмҥэ улаатыытын улахан гыныы иһин ставкаларын хайдах кээмэйдиэхтээҕий диэн ыйыппыта. Хоруйа маннык: 1-гэ b төлүүр, кыайыы кыаҕаматематикаКыах (вероятность)Түмүк тахсар кыаҕа, 0-тан 1-гэ диэри эбэтэр 0%-тан 100%-ҥа диэри. Биир ахсаан: 1/37 = 2,70%.Толору ааҕыҥ → p, хотторуу кыаҕа q = 1 − p буоллаҕына, банкролл f* = (bp − q) / b өлүүтүн туруоруохха. f* плюс буоллаҕына, ол өлүүнү туруоруҥ; ноль эбэтэр минус буоллаҕына, туруорумаҥ. Келли Bell Labs-ка үлэлээбитэ, кини «A new interpretation of information rate» ыстатыйата задачаны Клод Шеннон информация теориятыгар туруорбута: шумнаах линиянан сүбэ ылар оонньооччу, чиэһинэй сыһыаннарга, банкроллын линия информацияны тиэрдэр түргэнинэн эрэ улаатыннарыан сөп. 1961 сыллаахха Лео Брейман Келлинэн ставка уһун кэмҥэ ханнык баҕарар чахчы атын стратегияттан иннигэр тахсарын уонна туруоруллубут сыалга чугастык саамай кылгас кэмҥэ тиийэрин дакаастаабыта.

Оонньооччу шумнаах линиянан сүбэлэри истэн, банкроллын сорҕотун туруорар.

Рулеткаҕа Келлинэн ставка

КыһылгаставкаКыһыл18 кыһыл ахсааҥҥа тэҥ төлөбүрдээх ставка. Французскайдыы: rouge.Толору ааҕыҥ →: b = 1, p = 18/37, q = 19/37; f* = (18/37 − 19/37)/1 = −1/37. Биир ахсааҥҥа ставкаҕаставкаБиир ахсааҥҥа ставкаСоҕотох ахсаан, төлөбүрэ 35:1.Толору ааҕыҥ →: b = 35, p = 1/37, q = 36/37; f* = (35/37 − 36/37)/35 = −1/1295. Хас биирдии стандартнай ставка Келли минус өлүүтүн биэрэр, тоҕо диэтэххэ хас биирдии ставка минус баһыйыылаах, онон улаатыыга саамай сөптөөх ставка — ноль. Рулеткаҕа Келлинэн ставка казино өлүүтүн сирэйэ этэрин формальнай ньыманан этии буолар: минус күүтүллэр суолталаах ставка ханнык да кээмэйгэ банкроллы улаатыннарбат.

ставкаbpf* = (bp − q)/bсуолтата

кыһыл, европейскай118/37−0,027туруорума

кыһыл, la partage118/37 (зероҕо +½)−0,0135туруорума

биир ахсааҥҥа ставка351/37−0,00077туруорума

1/30 ячейкаҕа биир ахсааҥҥа ставка (кэлтэгэй)351/30+0,0057банкролл 0,57%-ын туруор

1/25 ячейкаҕа биир ахсааҥҥа ставка351/25+0,0126банкролл 1,26%-ын туруор

Келли ханна туттуллубутай

Кэлтэгэй көлүөһэни туһанааччылар баһыйыылаахтара уонна кээмэй задачалаахтара. Джаггер, Гарсия-Пелайолар уонна эвдемоннар бары кэмнээбит баһыйыыларыгар төһөнү туруоралларын быһаарыахтаах этилэр: аҕыйаҕы туруордахха баһыйыы таах барар, элбэҕи туруордахха баһыйыы көстүөн иннинэ банкроллы сүтэрии куттала үөскүүр. 30-тан 1 түбэһэр ячейкаҕатэрилЯчейкаРоторга нүөмэрдэммит 37 ячейкаттан биирдэстэрэ. Эмиэ: хаһыл, чаашка.Толору ааҕыҥ → Келли ол ахсааҥҥа эргитии аайы банкролл 0,57%-ын этэр: $10 000 баар буоллаҕына, эргитиигэ $57 кэриҥэ, эргитии аайы 0,054% кэриҥэ үгэс улаатыылаах, ол аата 1 000 эргитиигэ ×1,7. Орто кыайыы онтон икки төгүл улахан, эргитиигэ 0,11%, ол эрээри Келли орто банкролга буолбакка, үгэс банкролга сыаллаах; ортону аҕыйах дьоллоох сиэриэ улаатыннарар. Келли аҥара — үгэс практическай талыы, тоҕо диэтэххэ баһыйыы сыаната эрэллээх буолбатах.

Биир ахсааҥҥа Келли ставката банкролл %-ынан, ячейка чахчы түбэһиитинэн%

1/37 (чиэһинэй)

0% · туруорума

1/35

0,08%

1/33

0,26%

1/30

0,57%

1/25

1,26%

1/20

2,0%

012,0%

Улахан кэлтэгэйдээһин да кыра ставкалары эрэйэр: төлөбүр улахан, дисперсия үрдүк.

Рулетканы оонньообут биллиилээх дьон Эвдемоннар

Үгэс уонна орто

Үгэс банкролл уонна орто банкролл икки ардыларыгар улахан араастаһыы баар. 25-тэн 1 түбэһэр ячейканы ылыҥ, баһыйыыта 44%, Торп бэйэтин тэрилигэр биэрбит сыыппарата. Келли онно банкролл 1,26%-ын туруорар. 1 000 эргитии кэнниттэн үгэс банкролл 11,5 төгүл кэриҥэ улаатар, оттон орто банкролл, аҕыйах олус дьоллоох сиэриэ үөһэ тардыбыт, 249 төгүл кэриҥэ улаатар. Келлиттэн элбэҕи туруордахха орто улаатар, үгэс түмүк кыччыыр: Келли ставкатыттан икки төгүл элбэххэ үгэс банкролл икки төгүл эрэ улаатар, оттон Келли ставкатыттан икки аҥар төгүл элбэххэ кыччыыр, хас биирдии ставка өссө да 44% баһыйыылаах буоллар да. Аҕыйаҕы туруоруу кыратык эрэ сыаналанар: ставка аҥара улаатыы түөрт өлүүтүттэн үһүн кэриҥин хаалларар.

ставка, Келли өлүүтэставка, банкролл %-а1 000 эргитии кэнниттэн үгэс банкролл

½0,63%× 6,7

11,26%× 11,5

1½1,89%× 7,4

22,51%× 2,2

2½3,14%× 0,38

33,77%× 0,04

25-тэн 1 түбэһэр биир ячейка, 1-гэ 35 төлөнөр. Үгэс диэн медиана, e эргитии аайы улаатыыны 1 000 төгүл элбэтэн тахсар степеннээх.

Баһыйыы сабаҕалааһын буоллаҕына

Келли баһыйыы биллэр диэн сабаҕалыыр. Остуолга ол сыаналанар, сыаната үксүгэр олус үрдүк буолар. Эпштейн холобура, Торп 44%-ыгар олоҕурбут, икки зеролаахкөлүөһэЗероХаннык да тэҥ төлөбүрдээх, дюжинаҕа эбэтэр колоннаҕа ставка бүрүйбэт соҕотох күөх ячейка; казино өлүүтүн төрүтэ. Эмиэ: биир зеро, 0.Толору ааҕыҥ → көлүөһэ 1 225 эргитиитигэр 49 төгүл түбэспит ахсаан: 25-тэн 1, 44% баһыйыы, Келли ставката 1,26%. Ол эрээри чиэһинэй икки зеролаах көлүөһэ 38 ахсааннаах, кинилэртэн саамай элбэхтик түбэһэрэ 1 225 эргитиигэ 49 эбэтэр онтон элбэххэ тоҕустан биир кэриҥэ түгэҥҥэ тиийэр. Ханнык баҕарар суругу саамай элбэхтик түбэспит ахсаан эмиэ дьол саамай элбэхтик көмөлөспүт ахсаана буолар, онон чахчы кэлтэгэй ячейка да суругу дьиҥнээҕэр ордук көстөр: кыайааччы кырыыһа. Ол ячейка дьиҥэр кэлтэгэйэ суох буоллаҕына, Келли ставката ортотунан 5,26% сүтэрэр ставка эрэ буолар. Үгэс хоруйдар: Келли өлүүтүн туруоруу уонна баһыйыы саҥа суругу тулуйуор диэри ааҕа туруу (Рулетка көлүөһэтин кэлтэгэйин хайдах булуохха диэни көрүҥ).

Баһыйыылаах дьон

Баһыйыыны билии ону үчүгэйдик туһаныы буолбатах. Хагани уонна Дьюи (2016) 61 киһиэхэ $25-тэн биэрэн, 60% түгэҥҥэ «орел» түһэр диэбит монетаҕа аҥар чаас ставка туруордубуттара, кыайыы харчыта $250-нан хааччахтаммыта (оонньооччулар хааччах туһунан ол тиийдэхтэринэ эрэ билбиттэрэ). Келли хас биирдии төгүл «орелга» банкролл 20%-ын туруорарга этэр, ааптардар 10–20% уларыйбат ставкалар хааччахха 95% кэриҥэ түгэҥҥэ тиийиэхтээхтэр диэн сыаналыыллар. Оонньооччулартан 21%-а эрэ тиийбитэ. 28%-а дьадаҥыйбыта, 61-тэн 18-а барытын биир быраҕыыга туруорбута, үстэн бииригэр чугаһа саҕалаабыт $25-тарыттан аҕыйаҕы кытта бүтэрбитэ, оттон орто төлөбүрхарчыТөлөбүрКыайбыт ставка тугу төннөрөрө, төннөрүллэр ставка үрдүнэн «1-гэ X» диэн этиллэр.Толору ааҕыҥ → $91 этэ. 61-тэн биэс эрэ киһи Келли критерийин истибит этэ. Баһыйыы баар буоллаҕына, ставкалар кээмэйэ ону хаалларыаххыт дуу, суох дуу диэни быһаарар; суох буоллаҕына, чиэһинэй көлүөһэҕэ курдук, ханнык да кээмэй көмөлөспөт.

Биир оонньооччу барытын биир быраҕыыга туруорар, оттон ыаллыы олорооччута кыра өлүүнү туруорар.

Оннугар тугу туттуохха

Баһыйыы суох буоллаҕына, кээмэй — улаатыы буолбакка, бюджет боппуруоһа: ставка = эргитии аайы ороскуоттуоххутун баҕарар суумаҕыт, чаастааҕы бюджеттан уонна остуол түргэнинэн таһаарыллар (банкроллы салайыы сирэйэ). Келли судургу оонньооччуга туһата — хоруйун чуолкайа: ноль. Нолтан үөһэ туруорар ставкаҕыт барыта оонньуу сыаната, ону эһиги бэйэҕит талаҕыт, ханнык да формула оптимизацияламмат.

Келли өлүүтэ уонна «харчыны салайыы» туһунан бэлиэтээһин

«Рулеткаҕа Келли» диэн атыыланар, хас биирдии ставкаҕа банкролл уларыйбат бырыһыанын сүбэлиир системалар — кыччаан иһэр ставкалаах уларыйбат ставкастратегияУларыйбат ставкаЭргитии аайы биир кээмэйдээх ставка. Хас биирдии прогрессия кинини кытта тэҥнэнэр.Толору ааҕыҥ →. Кинилэр ставкалар уопсай сууматынхарчыСтавкалар уопсай сууматаСессия эбэтэр кэм устата туруоруллубут уопсай харчы, хаттаан туруоруллубут кыайыы харчытын кытта. Эмиэ: handle, action.Толору ааҕыҥ → 2,70%-ын сүтэрэллэр, сүттэххитинэ ставка кыччыырынан, банкроллы сүтэриини кыаллыбат гыммакка, бытаан эрэ гыналлар. Бу бюджеты уһатарга сөптөөх ньыма; ол эрээри бу Келли буолбатах, Келли «тохтооҥ» диэх этэ.

Рулеткаҕа уларыйбат ставка стратегията

Формула

f* = (b·p − q) / b

кыһыл: f* = −1/37 · биир ахсаан: f* = −1/1295

r түбэһиилээх кэлтэгэй ячейка: f* = (35r − (1 − r)) / 35

Ыйытыылар

Келли хаһан эмэ рулеткаҕа ставка туруор диир дуо?

Кэлтэгэй көлүөһэттэнлабораторияКэлтэгэй көлүөһэФизическэй итэҕэстэрин иһин сорох ячейкалара 1/37-тэн ордук тахсар көлүөһэ. Сэдэх, тыһыынчанан суруллубут эргитиилэринэн эрэ булуллар.Толору ааҕыҥ → эбэтэр кэми кэмниир тэрилтэн кэмнэммит баһыйыы баар буоллаҕына эрэ. Чиэһинэй көлүөһэҕэ суох.

Тоҕо Келли аҥара?

Тоҕо диэтэххэ баһыйыы сыаната сыыһалаах, оттон элбэҕи туруоруу аҕыйаҕы туруорууттан ороскуоттаах. Келли аҥара улаатыы түөрт өлүүтүттэн үһүн дисперсияматематикаДисперсияТүмүктэр күүтүллэр суолта тула төһө киэҥник ыһылларын кээмэйэ. Биир ахсааҥҥа ставкаҕа үрдүк, тэҥ төлөбүрдээх ставкаларга намыһах.Толору ааҕыҥ → түөрт өлүүтүттэн биирэ сыанатыгар биэрэр.

Келли банкроллы салайыыны кытта биир дуо?

Суох. Келли баһыйыы баар буоллаҕына улаатыыны оптимизациялыыр. Банкроллы салайыы баһыйыы суох буоллаҕына ороскуоту хонтуруоллуур.

Математика оонньуута

Бастаан бэйэҕит боруобалааҥ. Хас биирдии быһаарыы сабыллан турар; бэлэм буоллаххытына арыйыҥ.

Торп уонна Шеннон билгэлиир тэриллэрэ 44% кэриҥэ баһыйыыны биэрэрэ. Билгэлэммит биир ахсааҥҥа Келли банкроллхарчыБанкроллОонньуурга араарыллыбыт уопсай харчы. Банкроллы салайыы — онтон биир ставкаҕа уонна биир сессияҕа төһөнү кутталга угары быһаарыы.Толору ааҕыҥ → 1,26%-ын туруоруҥ диир. Оннук 44% баһыйыы биэс ыаллыы ахсааҥҥа тарҕаммыт биир ставкаҕа буоллар хайдах буолуой?
Быһаарыыны көрдөр
Хоруй Оччоҕо Келли банкролл 7,1%-ын диир, банкролл алта кэриҥэ төгүл түргэнник улаатар: 1 000 ставкаҕа 1,25 мөлүйүөн кэриҥэ төгүл, 11,5 төгүлгэ утары.
44% баһыйыылаах биир ахсааҥҥа ставкаставкаБиир ахсааҥҥа ставкаСоҕотох ахсаан, төлөбүрэ 35:1.Толору ааҕыҥ → 0,04 кыахтаах кыайар, тоҕо диэтэххэ 36 × 0,04 = 1,44. Келли ставката — баһыйыы төлөбүр сыһыаныгар түҥэтиллибитэ: 0,44/35 = 1,26%. Ставка аайы типовой улаатыы 0,04 × ln(1 + 35 × 0,0126) + 0,96 × ln(1 − 0,0126) ≈ 0,00244, онон 1 000 ставка банкроллы e^2,44 ≈ 11,5 төгүл улаатыннарар.
Биир ставканы биэс ахсааҥҥа тарҕаттахха, ставка 0,20 кыахтаах кыайар уонна ставканы кытта 1-гэ 36/5 төлүүр, ол аата 1-гэ 6,2: баһыйыы эмиэ 44%, тоҕо диэтэххэ 0,2 × 7,2 = 1,44. Келли ставката 0,44/6,2 = 7,10% буолар, ставка аайы улаатыы 0,01404, 5,75 кэриҥэ төгүл элбэх. 1 000 ставкаҕа ол e^14,04, 1,25 мөлүйүөн кэриҥэ.
Баһыйыы биир; хамсааһыннар кыра. Биэстэн биирдэ кыайар ставка банкроллы сүтэрии куттала суох банкролл улахан өлүүтүн илдьиэн сөп, Келли улаатыыта ону бэлиэтиир. Торп (1984) бу холобурунан билгэлиир оонньооччулар тоҕо секторгакөлүөһэСекторКөлүөһэҕэ ячейкалар быстыбат дуоҕата, остуол ойуутугар бөлөхтөн уратылаах.Толору ааҕыҥ → ставка туруоралларын көрдөрөр. Практикаҕа биэс ыаллыы ахсаанставкаЫаллыы ахсааннарКөлүөһэҕэ биир ахсаан уонна кини икки өттүнэн иккилии ячейка, биир ахсааҥҥа биэс фишка.Толору ааҕыҥ → саамай үчүгэй биир ахсаантан кыратык намыһах баһыйыылаах («Баһыйыы оонньуута» диэни көрүҥ).
Оонньооччу хас биирдиилэрэ 37-тэн 1 оннугар 25-тэн 1 төгүл тахсар икки ыаллыы ячейканытэрилЯчейкаРоторга нүөмэрдэммит 37 ячейкаттан биирдэстэрэ. Эмиэ: хаһыл, чаашка.Толору ааҕыҥ → булбут. Кинилэр икки ардыларыгар 1-гэ 17 төлөбүрдээх сплиткаставкаСплитИкки ыаллыы ахсаан, төлөбүрэ 17:1.Толору ааҕыҥ → туруоруохтаах дуу, эбэтэр ахсаан аайы биир ахсааҥҥа ставка дуу? Келли төһөнү диирий, оннук биир ячейкаҕа тэҥнээтэххэ банкролл төһө түргэнник улаатарый?
Быһаарыыны көрдөр
Хоруй Араастаһыы суох: сплитка банкролл 2,59%-а, эбэтэр ахсаан аайы 1,29%. Типовой банкролл 1 000 эргитиигэ 155 кэриҥэ төгүл улаатар, биир ячейкаҕа 11,5 төгүлгэ утары.
Сплит 2/25 = 0,08 кыахтаахматематикаКыах (вероятность)Түмүк тахсар кыаҕа, 0-тан 1-гэ диэри эбэтэр 0%-тан 100%-ҥа диэри. Биир ахсаан: 1/37 = 2,70%.Толору ааҕыҥ → кыайар уонна 1-гэ 17 төлүүр, онон туруоруллубут единицахарчыЕдиницаСистема эбэтэр оонньооччу туттар төрүт ставката. Прогрессиялар ханнык баҕарар остуолга сөп түбэстиннэр диэн единицанан ойууланаллар.Толору ааҕыҥ → аайы 18 × 0,08 = 1,44 төннөрөр: 44% баһыйыы, биир кэлтэгэй ячейкаҕа тэҥ. Келли ставката — баһыйыы төлөбүр сыһыаныгар түҥэтиллибитэ: 0,44/17 = 2,59%.
Хас биирдиитэ 1,29% икки биир ахсааҥҥа ставка чопчу оннук түмүктэри биэрэллэр. Ахсааннартан биирэ таҕыстаҕына, биир фишкахарчыФишкаБигэ сууманы бэрэстэбиилиир бэлиэ, ставка оҥорорго остуол ойуутугар ууруллар. Эмиэ: check.Толору ааҕыҥ → 1-гэ 35 кыайар, иккиһэ сүтэр, ыраас түмүк банкролл 34 × 1,29% = 44%-а, сплит төлүүрүн курдук; иккиэн тахсыбатахтарына, иккиэн сүтэллэр.
Эргитии аайы улаатыы 0,00505, биир ячейкаҕа 0,00244-кэ утары, онон 1 000 эргитиигэ типовой банкролл e^2,44 ≈ 11,5 төгүл оннугар e^5,046 ≈ 155 төгүл улаатар. Икки үчүгэй ахсаан биир ахсаантан икки төгүлтээҕэр быдан ордук, онон кэлтэгэйдээһини туһанар оонньооччулар ахсааннар бөлөхтөрүгэр ставка туруораллар. Торп (1984) оннук тэҥнээһини ааҕар.

Күлүү түгэнэ

$Рулеткаҕа улаатыыга саамай сөптөөх ставка — бары билэр ахсааннара.$

Рулеткаҕа улаатыыга саамай сөптөөх ставка — бары билэр ахсааннара.

Источниктар

Kelly, J. L. “A new interpretation of information rate.” Bell System Technical Journal 35(4), 1956.
Breiman, L. “Optimal gambling systems for favorable games.” Fourth Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability, 1-кы туом, 1961.
Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.” Review of the International Statistical Institute 37(3), 1969.
Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling. Gambling Times / Lyle Stuart, 1984.
Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed. Academic Press, 2013.
Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed. CRC Press, 2021.
Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling. Springer, 2010. 13-с баһылык, рулетка.
Haghani, V. & Dewey, R. “Rational decision-making under uncertainty: observed betting patterns on a biased coin.” Үлэ суруга, 2016 сыл алтынньы; SSRN 2856963, arXiv:1701.01427.

2026-09-28 көрүллүбүтмодель: европейскай, биир зерометодология ↗источниктар ↗