Рулетка математиката · Математическай задача · 10 мүнүүтэ

Задача: остуол лимитэ

$500 лимиттээх остуолга $10-нан мартингейл. Төһө элбэхтик алдьанарый, алдьаннаҕына төһөнү сүтэрэрий, лимиты үрдэтии көмөлөһөр дуо?

Кылгас хоруй

Субуруччу алта хотторуу ону алдьатар: цикл аайы 1,8%, 100 эргитиилээх сессиялар 60% кэриҥэ. Алдьаныы $630 сыаналаах. Лимиты $5 000-ҥа диэри үрдэтии алдьаныыны сэдэх (цикл аайы 0,25%) уонна улахан ($5 110) оҥорор. Туруоруллубут дуоллартан күүтүллэр сүтүк ханнык баҕарар лимиккэ 2,70%.

төрүт ставка / лимит

$10 / $500

алдьаныыга диэри хотторуу

цикл аайы p(алдьаныы)

1,8%

алдьаныыга сүтүк

$630

Задача

Оонньооччу кыһылгаставкаКыһыл18 кыһыл ахсааҥҥа тэҥ төлөбүрдээх ставка. Французскайдыы: rouge.Толору ааҕыҥ → $10 туруорар уонна хас биирдии хотторуу кэнниттэн ставканы икки төгүл улаатыннарар, кыайыы кэнниттэн саҥаттан саҕалыыр. Остуол үөһээ лимитэ $500. (a) Субуруччу хас хотторуу прогрессияныстратегияПрогрессияУрукку түмүктэргэ олоҕуран ставканы уларытар ханнык баҕарар быраабыла. Негативнай прогрессиялар хотторуу кэннэ улаатыннараллар, позитивнайдар — кыайыы кэннэ.Толору ааҕыҥ → алдьатарый? (b) Цикл аайы кыаҕаматематикаКыах (вероятность)Түмүк тахсар кыаҕа, 0-тан 1-гэ диэри эбэтэр 0%-тан 100%-ҥа диэри. Биир ахсаан: 1/37 = 2,70%.Толору ааҕыҥ → төһөнүй? (c) Алдьаныыга туох сүтэрэрий? (d) $5 000 лимит хоруйдары хайдах уларытарый? (e) Ханнык эмэ лимит системаны барыыстаах оҥорор дуо?

Рулетка остуолун лимиттэрэ

Быһаарыылар (a)–(c)

Ставкалар: 10, 20, 40, 80, 160, 320. Сэттис 640 > 500 буолуо этэ, онон алта хотторуу ону алдьатар. (b) Кыһылга p(хотторуу) = 19/37; (19/37)⁶ = 0,0183, цикл аайы 1,8% кэриҥэ. Цикл ортотунан икки эргитии кэриҥэ уһуннаах, онон 100 эргитиилээх сессия 50 кэриҥэ циклаах, p(саатар биир алдьаныы) ≈ 1 − 0,9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, ол 63 төрүт единицахарчыЕдиницаСистема эбэтэр оонньооччу туттар төрүт ставката. Прогрессиялар ханнык баҕарар остуолга сөп түбэстиннэр диэн единицанан ойууланаллар.Толору ааҕыҥ →, оттон цикл $10 кыайаары гыммыта.

лимиталдьаныыга диэри хотторууцикл аайы p(алдьаныы)алдьаныыга сүтүкp(100 эргитиигэ алдьаныы)төннөрөргө наадалаах кыайыы

$10046,95%$150≈ 97%15

$50061,8%$630≈ 60%63

$1 00070,94%$1 270≈ 38%127

$2 00080,48%$2 550≈ 22%255

$5 00090,25%$5 110≈ 11%511

$20 000110,07%$20 470≈ 3%2 047

Хаппахчаны икки төгүл үрдэттэххэ, алдьаныы кыаҕа икки төгүл кэриҥэ кыччыыр, сыаната икки төгүл улаатар. Кинилэри төгүллээһин түмүгэ арыый эрэ уларыйар.

Быһаарыы (d)

$5 000 буоллаҕына: 2 560-ҥа диэри ставкалар көҥүллэнэллэр; онус ставка, 5 120, көҥүллэммэт. Тоҕус хотторуу ону алдьатар: (19/37)⁹ ≈ цикл аайы 0,25%, 100 эргитиилээх сессиялар 11%-ын кэриҥэ. Алдьаныыга сүтүк: 10 + 20 + … + 2 560 = $5 110. Оонньооччу сэдэх алдьархайы улахан алдьархай сыанатыгар атыыласпыт. Элбэх сессияҕа алдьаныылар күүтүллэр сыаналара p × сүтүк ≈ 0,0183 × 630 = $500 лимиккэ цикл аайы $11,5 уонна 0,0025 × 5 110 = $5 000-ҥа $12,8; иккиэн чугастар, ол эрээри тэҥэ суохтар, хас биирдиилэрэ — циклы күүтүллэр сүтүгэматематикаКүүтүллэр сүтүкКүүтүллэр суолта ставкалар уопсай сууматыгар төгүлэ; сессия эбэтэр кэм устата ортотунан сүтэриллэр харчы.Толору ааҕыҥ → уонна кыайбыт цикллар ылар $10-нара.

Быһаарыы (e)

Суох. Цикл аайы күүтүллэр сүтүк = (циклга күүтүллэр уопсай ставка) / 37, ханнык баҕарар лимиккэ, тоҕо диэтэххэ хас биирдии ставка бэйэтин −1/37-тэ. Лимит сүтүк элбэх кыра кыайыылар уонна аҕыйах улахан хотторуулар икки ардыларыгар хайдах тарҕанарын эрэ быһаарар. Лимит суох уонна муҥура суох банкроллааххарчыБанкроллОонньуурга араарыллыбыт уопсай харчы. Банкроллы салайыы — онтон биир ставкаҕа уонна биир сессияҕа төһөнү кутталга угары быһаарыы.Толору ааҕыҥ → буоллаҕына, прогрессия «үлэлиэ» этэ, хаһан да алдьаммат диэн өйдөбүлгэ, ол эрээри кини кыраныыцата суох сууманы туруоруо этэ, күүтүллэр сүтүгэ ол кыраныыцата суох суума 2,70%-а буолуо этэ. МартингейлыстратегияМартингейлХас биирдии хотторуу кэннэ ставканы икки төгүл улаатыннарар прогрессия. Тугу оҥорорун уонна тугу оҥорбатын «Стратегиялар» салаатыгар көрүҥ.Толору ааҕыҥ → үлэлэппэт остуол лимитэостуолОстуол лимитэКөҥүллэнэр саамай кыра уонна саамай улахан ставка. Икки төгүл улаатыннарар прогрессиялары үөһээ лимит тохтотор.Толору ааҕыҥ → буолбатах. Ааҕыы.

$10 төрүт ставкалаах мартингейл, 100 эргитии: лимитинэн орто түмүк (симуляция)$

$500 лимит

≈ −$75

$1 000 лимит

≈ −$75

$2 000 лимит

≈ −$72

$5 000 лимит

≈ −$70

уларыйбат $10, ханнык баҕарар лимит

$27

04080

Столбиктар сүтүк кээмэйин көрдөрөллөр. Лимиты үрдэтии орто суолтаны арыый эрэ сыҕарытар; прогрессия хаппахчаттан тутулуга суох 100 эргитиигэ $2 800 кэриҥин туруорар.

Икки дьиҥнээх остуол

Торп холобура — $1 остуол $1 000 үөһээ лимиттээх, онно оонньооччу эбиэккэ $30-у дуоллаан кыайыам диэн эрэнэр. 1, 2, 4 … 512 ставкалар уон ставканы көҥүллүүллэр, онон субуруччу уон хотторуу прогрессияны алдьатар: европейскай көлүөһэҕэ 785 циклтан биирдэ (американскайга 613-тэн биирдэ), $1 023 сыаналаах. Отут цикл бары 96,2% түгэҥҥэ ситиһиилээхтэр. Атын 3,8%-а $1 000 кэриҥин сүтэрэр, оттон киэһэ орто түмүгэ −$9,17, ол отут цикл ортотунан туруорар $339-ун чопчу 1/37-тэ. $2 000 үөһээ лимиттээх $5 остуол туох да атына суох: $1 280-ҥа диэри ставкалар тоҕус ставканы көҥүллүүллэр, алдьаныы европейскай көлүөһэҕэ 403 циклтан биирдэ (американскайга 323-тэн биирдэ) кэлэр уонна $2 555 сыаналаах.

Икки төгүл улаатар ставкалар остуол үөһээ лимитигэр тиийэ үүнэллэр, оттон эбиэт аттыгы хоско кэтэһэр.

Баай оонньооччу

Прогрессияҕа намыһах лимит оннугар улахан банкроллы биэриҥ: 1 000 единица, биир единица төрүт ставка уонна кыһылга 1 000 эргитии, кэлэр икки төгүл ставка хаалбыттан улахан буоллаҕына, хаттаан биир единицаттан саҕалаан. Биһиги маннык мөлүйүөн киэһэни симуляциялаатыбыт. Европейскай көлүөһэҕэ 52%-а плюска бүтэрэр, 21%-а барытын сүтэрэр, оттон орто түмүк −124 единица. ЗеротакөлүөһэЗероХаннык да тэҥ төлөбүрдээх, дюжинаҕа эбэтэр колоннаҕа ставка бүрүйбэт соҕотох күөх ячейка; казино өлүүтүн төрүтэ. Эмиэ: биир зеро, 0.Толору ааҕыҥ → суох, хас биирдии ставка чиэһинэй оонньууга да 60% кэриҥэ эрэ плюска бүтэриэ этэ. Үгэс киэһэ — кыра кыайыы; ортону нолго бүтэр киэһэлэр төлүүллэр.

көлүөһэплюска бүтэрэр1 000 единицаны сүтэрэрорто түмүк

зерота суох (чиэһинэй оонньуу)60%15%0

Европейскай52%21%−124 единица

Американскай45%30%−250 единица

Биһиги симуляциябыт, көлүөһэ аайы мөлүйүөн киэһэ. Орто суолталар прогрессия 1 000 эргитиигэ туруорарын 1/37-тэ уонна 1/19-а: европейскай көлүөһэҕэ 4 600 кэриҥэ единица, американскайга 4 750.

Үөрэх

Казинолар лимиттэри системалары кыайар иһин буолбакка, бэйэлэрин дисперсияларынматематикаДисперсияТүмүктэр күүтүллэр суолта тула төһө киэҥник ыһылларын кээмэйэ. Биир ахсааҥҥа ставкаҕа үрдүк, тэҥ төлөбүрдээх ставкаларга намыһах.Толору ааҕыҥ → хааччахтыыр иһин туруораллар. Мартингейлы кыайыы — кинилэр үөрэ ылар эбии түмүктэрэ, ааҕыы ону хайаан да кыайыа этэ. Лимит — проблема диэн саныыр оонньооччу очуоһу булан баран, ону эниэ диэн сыыһа саныыр.

Формула

p(алдьаныы) = (19/37)ᵏ, k = лимит көҥүллүүр хотторуулара

алдьаныыга сүтүк = төрүт · (2ᵏ − 1)

E[цикл аайы сүтүк] = E[циклга ставка] / 37

Ыйытыылар

Улахан банкролл ону көннөрүө дуо?

Кини үрдүк лимиккэ диэри тулуйарга көмөлөһөр, онно алдьаныы сэдэх уонна улахан. Дуолларга күүтүллэр сүтүк уларыйбат.

Икки төгүл улаатыннарыы аайы единица эбэр «улахан мартингейл» хайдаҕый?

Ставкалар 10, 30, 70, 150, 310: $500 лимиккэ биэс хотторуу кэнниттэн тиийэллэр, алдьаныы $570 сыаналаах. Эмиэ 2,70%.

Казинолар тоҕо үөһээ лимиттээхтэрий?

Биир оонньооччу казино резерва кыайан төлүүрүттэн элбэҕи туруорбатын иһин. Дисперсияны салайыы.

Математика оонньуута

Бастаан бэйэҕит боруобалааҥ. Хас биирдии быһаарыы сабыллан турар; бэлэм буоллаххытына арыйыҥ.

МартингейлстратегияМартингейлХас биирдии хотторуу кэннэ ставканы икки төгүл улаатыннарар прогрессия. Тугу оҥорорун уонна тугу оҥорбатын «Стратегиялар» салаатыгар көрүҥ.Толору ааҕыҥ → кыһылгаставкаКыһыл18 кыһыл ахсааҥҥа тэҥ төлөбүрдээх ставка. Французскайдыы: rouge.Толору ааҕыҥ → $100-тан саҕаланар уонна цикл аайы n ставкаттан элбэҕи көҥүллээбэт: субу-субу n хотторуу кэнниттэн тохтоон хат саҕалыыр. Биир цикл орто түмүгүн n формулатынан суруйуҥ, европейскай көлүөһэҕэ 5, 6 уонна 7 ставкаҕа ааҕыҥ.
Быһаарыыны көрдөр
Хоруй Орто түмүк 100 × (1 − (38/37)ⁿ): 5 ставкаҕа −$14,26, 6-ҕа −$17,35, 7-гэ −$20,52. Элбэх ставканы көҥүллээһин орто цикл түмүгүн мөлтөтөр, тупсарбат.
Цикл n ставка барыта хоттордоҕуна эрэ $100 кыайбат, ол qⁿ кыахтаах буолар, манна q = 19/37. Барыта хоттордоҕуна, 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ ставкалар холбоһон 100 × (2ⁿ − 1) буолаллар. Онон орто суолта 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
Манна 2q = 38/37, 1-тэн кыратык улахан, онон (2q)ⁿ n-нэн улаатар, орто суолта түһэр: n = 5 1,1426 уонна −$14,26 биэрэр; n = 6 — 1,1735 уонна −$17,35; n = 7 — 1,2052 уонна −$20,52. Ставкалар уһун устуруокалара сэдэхтик хотторор, цикллар 3,6%, 1,8% уонна 0,9%-ыгар, ол эрээри хотторуу аайы икки төгүл улахан, уонна цикл аайы остуолунан элбэх харчы ааһар, ставка аайыттан 2,70%.
Американскай көлүөһэҕэ 2q = 40/38, сыыппаралар −$29,24, −$36,04 уонна −$43,20 (Тейлор, 2021). ЗеротакөлүөһэЗероХаннык да тэҥ төлөбүрдээх, дюжинаҕа эбэтэр колоннаҕа ставка бүрүйбэт соҕотох күөх ячейка; казино өлүүтүн төрүтэ. Эмиэ: биир зеро, 0.Толору ааҕыҥ → суох оонньууга 2q = 1, ставкалар устуруокалара төһө да уһун буоллар, цикл аайы орто түмүк чопчу ноль.
«Улахан мартингейл» хотторуу кэнниттэн ставканы икки төгүл улаатыннарар уонна биир единицаныхарчыЕдиницаСистема эбэтэр оонньооччу туттар төрүт ставката. Прогрессиялар ханнык баҕарар остуолга сөп түбэстиннэр диэн единицанан ойууланаллар.Толору ааҕыҥ → эбэр, онон ставкалар 1, 3, 7, 15, 31 … Бастакы кыайыы 1-кы, 2-с, 3-с эбэтэр k-с ставкаҕа кэллэҕинэ, төһөнөн инники буолаҕытый? Единица $10 уонна үөһээ лимит $500 буоллаҕына, цикл төһө элбэхтик тостор, цикл ортотунан төһөҕө турарый?
Быһаарыыны көрдөр
Хоруй k-с ставкаҕа кыайыы эһигини k единицанан инники хаалларар: +1, +2, +3 о.д.а. $10 уонна $500 буоллаҕына цикл биэс хотторуу кэнниттэн тостор, цикллар 3,57%-ыгар, −$570. Ортотунан цикл туруоруллубут $85,73-тан $2,32 сүтэрэр: 2,70%.
k-с ставка 2ᵏ − 1 единица: 1, 3, 7, 15, 31. Бастакы k − 1 ставка холбоһон 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1. k-с ставкаҕа кыайыы 2ᵏ − 1 төлүүр, онон цикл (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k единицанан инники бүтэр: кыайыы иннинээҕи хотторуу аайы биир эбии единица.
Единица $10 буоллаҕына ставкалар $10, $30, $70, $150 уонна $310; кэлэр ставка, $630, $500 үөһээ лимиттэн ордук. Субу-субу биэс хотторуу, (19/37)⁵ = 3,57%, 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570 турар.
Орто: кыайыылар k = 1-тэн 5-кэ диэри (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 кыахтаах $10 × k биэрэллэр, тостуу 3,57% кыахтаах $570 ылар; бииргэ −$2,32. Цикл аайы ортотунан $85,73 туруоруллар, 2,32/85,73 = 2,70%. Ол остуолга көннөрү мартингейл алта хотторуу кэнниттэн тостор, цикллар 1,83%-ыгар, −$630, уонна туруоруллубут $64,20-тан $1,74 сүтэрэр: эмиэ 2,70%.
Оонньооччу лимитэ $1 000 остуолга кыһылга бастакы ставката $1 мартингейлы былааннаар, онон уон ставка кыаллар: $1, $2, $4 уонна о.д.а. $512-гэ диэри. Цикл уоннарын барытын төһө элбэхтик хотторорй, ол ортотунан төһө уһуннук ылар, 200 ставкалаах киэһэ төһө элбэхтик оннук бүтэрий?
Быһаарыыны көрдөр
Хоруй Цикл уоннарын барытын 784-тэн биирдэ кэриҥэ хотторор, ол $1 023 турар. Ол ортотунан 1 600 ставка кэриҥэ, 200 ставкалаах киэһэ 11% кэриҥэ түбэлтэҕэ лимит эркинигэр охсуллар. Цикл ортотунан туруоруллубут $11,31-тан $0,31 сүтэрэр: 2,70%.
Кыһылга ставка 19/37 кыахтаах хотторор, зерону киллэрэн. Субу-субу уон: (19/37)¹⁰ ≈ 0,00128, 784-тэн 1 кэриҥэ. 1 + 2 + 4 + … + 512 ставкалар холбоһон $1 023.
Цикл ортотунан 2,05 ставканы ылар, онон 784 цикл 1 600 кэриҥэ ставканы ылар. Эргитии аайы ааҕан, 200 ставка иһигэр уон хотторуу сиэриэтэ 11,3% түбэлтэҕэ көстөр.
Алдьархайдар икки ардыларыгар оонньооччу цикл аайы $1 кыайар: куһаҕан цикл иннинэ $783 кэриҥэ, онтон −$1 023, бүтүн кэмҥэ −$240 кэриҥэ. Цикл аайы: 1 × (1 − 0,00128) − 1 023 × 0,00128 ≈ −$0,31. Цикл аайы туруоруллубут харчы: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11,31. Уонна −0,31/11,31 = −2,70%.
$500 лимиттээх остуолга бастакы ставка $10, алта ставка буоллаҕына тэҥнээҥ: эркин 55 циклтан биирдэ кэлэр, 200 ставкалаах киэһэ 84% түбэлтэҕэ онно охсуллар. Үрдүк лимит алдьархайы сэдэх уонна улахан оҥорор, чэпчэки буолбатах.

Күлүү түгэнэ

Ханнык баҕарар лимиккэ сэдэх уонна улахан. Төгүллээһин түмүгэ уларыйбат.

Источниктар

Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling. Springer, 2010. 13-с баһылык, рулетка.
Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.” Review of the International Statistical Institute 37(3), 1969.
Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling. Gambling Times / Lyle Stuart, 1984.
Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed. Academic Press, 2013.

2026-09-28 көрүллүбүтмодель: европейскай, биир зерометодология ↗источниктар ↗